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sexta-feira, 17 de dezembro de 2010

Acerca de taxas equivalentes no regime de juros compostos

Acerca de taxas equivalentes no regime de juros compostos, julgue os itens subsequentes.

132 - A taxa de juros de 5% ao semestre é equivalente à taxa de juros de 10% ao ano.

133 - Se uma operação de crédito custou 44% no período de dois anos, então, em termos efetivos, a taxa de juros anual equivalente foi de 20% ao ano.

134 - Se as taxas de juros Ia e Im representam, respectivamente, a taxa efetiva ao ano e a taxa equivalente ao mês, então Im = {[1 + Ia]^ (1/12) } - 1.

Comentários:

Diz-se que são taxas equivalentes aquelas taxas que aplicadas sobre um mesmo capital, durante um mesmo intervalo de tempo, produzem montante igual.

Exemplo: no regime de juros compostos, a taxa de 1% ao mês é equivalente à taxa de 12,68% ao ano, pois se aplicarmos um determinado capital durante um ano à taxa de 1% ao mês, capitalizada mensalmente, o resultado será idêntico ao da aplicação do mesmo capital à taxa de 12,68% em um ano.

A expressão matemática que mostra essa equivalência é:

1 + in = (1 + ip)^n

Onde:
in = taxa no período maior
ip = taxa no período menor
n = quantidade de períodos menores.

Ex: 1 + 0,126825 = (1 + 0,01)^12

132 - A taxa de juros de 5% ao semestre é equivalente à taxa de juros de 10% ao ano.

Utilizando a fórmula acima encontramos que:

1 + in = (1 + 0,05)^2
in = 1,1025 – 1
in = 10,25%

O item está errado, porque a taxa de juros de 5% ao semestre é equivalente à taxa de juros de 10,25% ao ano.

133 - Se uma operação de crédito custou 44% no período de dois anos, então, em termos efetivos, a taxa de juros anual equivalente foi de 20% ao ano.

Novamente, pelo uso da fórmula:

1 + 0,44 = (1 + ip)^2
√1,44 = 1 + ip
1,2 = 1 + ip
ip = 1,2 – 1
ip = 0,2 ou 20%

O item está certo.

134 - Se as taxas de juros Ia e Im representam, respectivamente, a taxa efetiva ao ano e a taxa equivalente ao mês, então Im = {[1 + Ia]^ (1/12) } - 1.

Em um ano, temos 12 meses. Reescrevendo a fórmula inicial, teremos então:

1 + ia = (1 + im)^12

Que também pode ser escrita:

(1 + ia)^1/12 = 1 + im

Im = {[1 + ia]^(1/12) } - 1

Com exemplo númerico:

Taxa mensal de 1% corresponde à taxa anual de 12,68% porque
0,01 = [(1,1268)^ (1/12) ] - 1

O item também está certo.

Obs.: O sinal "^" indica potenciação.




Respostas: 132 - Errado     133 - Certo     134 - Certo

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